Question

對于函數(shù)f（x）=

sinx，sinx≤cosx cosx，sinx＞cosx

給出下列四個命題：①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；②當(dāng)且僅當(dāng)x=π+kπ（k∈Z）時，該函數(shù)取得最小值-1；③該函數(shù)的圖象關(guān)于x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）對稱；④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＜x＜

π

2

+2kπ（k∈Z）時，0＜f（x）≤

2

2

．其中正確命題的序號是（　�。�

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意作出此分段函數(shù)的圖象，由圖象研究該函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)這些性質(zhì)判斷四個命題的真假，此函數(shù)取自變量相同時函數(shù)值小的那一個，由此可順利作出函數(shù)圖象．

解答： 解：由題意函數(shù)f（x）=

sinx，sinx≤cosx cosx，sinx＞cosx

，畫出f（x）在x∈[0，2π]上的圖象．
由圖象知，函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，故①錯誤；
在x=π+2kπ（k∈Z）和x=

3π

2

+2kπ（k∈Z）時，該函數(shù)都取得最小值-1，故②錯誤，
由圖象知，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）對稱，故③正確
在2kπ＜x＜

π

2

+2kπ（k∈Z）時，0＜f（x）≤

2

2

，故④正確．
故正確命題的序號是：③④，
故選：D

點評：本題考點是三角函數(shù)的最值，本題是函數(shù)圖象的運用，由函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，并以由圖象研究出的結(jié)論判斷和函數(shù)有關(guān)的命題的真假．