Question

6．過拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點F作直線交C于P，Q兩點，若線段PF與QF的長度分別為m，n，則m²+n²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2}{{a}^{2}}$
• B． 2a²
• C． $\frac{1}{2}$a²
• D． $\frac{1}{2{a}^{2}}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線PQ的方程，代入拋物線方程，運用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義，求得m，n的式子，以及m+n，mn的關(guān)系式，運用配方，即可得到最小值．

解答 解：拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點F（0，$\frac{1}{4a}$），準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{4a}$，
設(shè)PQ直線方程是y=kx+$\frac{1}{4a}$，
則x₁，x₂是方程ax²-kx-$\frac{1}{4a}$的兩根，
可設(shè)x₁＞0，x₂＜0，P（x₁，ax₁²），Q（x₂，ax₂²），
x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁x₂=-$\frac{1}{4{a}^{2}}$，
由拋物線的定義可得m=ax₁²+$\frac{1}{4a}$，n=ax₂²+$\frac{1}{4a}$，
m+n=a（x₁+x₂）²-2ax₁x₂+$\frac{1}{2a}$=$\frac{{k}^{2}}{a}$+$\frac{1}{a}$，
mn=a²x₁²x₂²+$\frac{1}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²）
=$\frac{1}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1+2{k}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{4{a}^{2}}$，
則m²+n²=（m+n）²-2mn=$\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{1+{k}^{2}}{2{a}^{2}}$
=$\frac{1}{2{a}^{2}}$[2（k²+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$]≥$\frac{1}{2{a}^{2}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k=0，取得最小值，且為$\frac{1}{2{a}^{2}}$．
故選：D．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，具有一定的運算量，屬于中檔題和易錯題．