Question

10．設(shè)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≤0}\\{x+y≥4}\\{2x-y≤1}\end{array}\right.$，則z=x-y的取值范圍為（-∞，$-\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 先根據(jù)不等式組畫(huà)出該不等式組表示的平面區(qū)域，而由z=x-y得y=x-z，可將該式看成斜率為1，在y軸上的截距為-z的一族平行直線的方程，并且得到直線y=x-z的截距增大時(shí)，z減小，結(jié)合平面區(qū)域即可知道當(dāng)直線y=x-z經(jīng)過(guò)直線x+y=4和直線2x-y=1的交點(diǎn)時(shí)z取到最大值，并且可以無(wú)限變小，這樣即可得出z的取值范圍．

解答 解：原不等式所表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示：

由z=x-y得，y=x-z，該方程便表示斜率為1，在y軸上截距為-z的一族平行直線；
∴截距最小z便最大；
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{2x-y=1}\end{array}\right.$得陰影部分的下端點(diǎn)為（$\frac{5}{3}，\frac{7}{3}$）；
∴直線y=x-z經(jīng)過(guò)下端點(diǎn)時(shí)z取最大值-$\frac{2}{3}$；
此時(shí)隨著虛線向上平移截距不斷增大，而z不斷減��；
∴z的取值范圍為（-∞，-$\frac{2}{3}$]．
故答案為：（-∞，-$\frac{2}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查不等式組表示一個(gè)平面區(qū)域，并能夠正確找出不等式組所表示的平面區(qū)域，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法，掌握線性規(guī)劃問(wèn)題的解決方法與過(guò)程，直線在y軸上的截距的概念及求法，知道y=x-z表示一族平行直線．