Question

18．如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的體積與該圓柱的體積之比是（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑R與上底面夾角為α，由題意推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，圓柱的側(cè)面積最大，由此能求出圓柱的側(cè)面積最大時，球的體積與該圓柱的體積之比．

解答 解：設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑R與上底面夾角為α，
則r=Rcosα，圓柱的高為2Rsinα，圓柱的體積為：πr²•2Rsinα，
圓柱的側(cè)面積為：2πR²sin2α，
當(dāng)且僅當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，sin2α=1，圓柱的側(cè)面積最大，
此時，圓柱的體積為：$π{r}^{2}•2Rsin\frac{π}{4}$=π•R²$•co{s}^{2}\frac{π}{4}$$•2Rsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$πR³，
球的體積為：$\frac{4}{3}$πR³，
∴球的體積與該圓柱的體積之比是：$\frac{\frac{4}{3}π{R}^{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}π{R}^{3}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查球的體積與該圓柱的體積之比的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意球、圓的簡單性質(zhì)的合理運用．