Question

甲，乙，丙三位學生獨立地解同一道題，甲做對的概率為，乙，丙做對的概率分別為m，n（m＞n），且三位學生是否做對相互獨立．記ξ為這三位學生中做對該題的人數(shù)，其分布列為：

ξ		1	2	3
P		a	b

（1）求至少有一位學生做對該題的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用“至少有一位學生做對該題”事件的對立事件的概率即可得出；
（2）利用P（ξ=0）與P（ξ=3）的概率即可得出m，n；
（3）利用（2）及與b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）即可得出a，b．
解答：解：設“甲做對”為事件A，“乙做對”為事件B，“丙做對”為事件C，
由題意知，．
（1）由于事件“至少有一位學生做對該題”與事件“ξ=0”是對立的，
所以至少有一位學生做對該題的概率是．
（2）由題意知，
           ，
整理得  mn=，．
由m＞n，解得，．
（3）由題意知=，
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=，
∴ξ的數(shù)學期望為Eξ==．
點評：本小題主要考查相互獨立事件的概率、利用對立事件的概率求概率的方法、離散型隨機變量的均值等基礎知識，考查數(shù)據(jù)處理、推理論證、運算求解能力和應用意識．