20．已知實數(shù)x，y＞0且xy=2，則$\frac{{x}^{3}+8{y}^{3}}{{x}^{2}+4{y}^{2}+8}$的最小值是1．

分析 設(shè)x+2y=t，由實數(shù)x，y＞0且xy=2，可得$t≥2\sqrt{2xy}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\sqrt{2}$．則$\frac{{x}^{3}+8{y}^{3}}{{x}^{2}+4{y}^{2}+8}$=t-$\frac{12}{t}$=f（t），利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)x+2y=t，
∵實數(shù)x，y＞0且xy=2，
∴$t≥2\sqrt{2xy}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2．
則$\frac{{x}^{3}+8{y}^{3}}{{x}^{2}+4{y}^{2}+8}$=$\frac{（x+2y）[（x+2y）^{2}-4xy-2xy]}{（x+2y）^{2}-4xy+8}$=$\frac{t（{t}^{2}-12）}{{t}^{2}}$=t-$\frac{12}{t}$=f（t）≥4-$\frac{12}{4}$=1，
∴$\frac{{x}^{3}+8{y}^{3}}{{x}^{2}+4{y}^{2}+8}$的最小值是1．
故答案為：1．

點評 本題考查了“換元法”、乘法公式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）的最小正周期為π．當(dāng)f（α）=1時，求cos（$\frac{4}{3}$π-4α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-x2．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．把公差為2的等差數(shù)列{an}的各項依次插入等比數(shù)列{bn}的第1項、第2項、…、第n項后，得到數(shù)列{cn}：b1，a1，b2，a2，b3，a3，b4，a4，…，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，已知c1=1，c2=3，S3=$\frac{17}{4}$．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）設(shè)Tn=2012•bn+an，閱讀程序框圖寫出輸出項，并指出此時輸出項在{Tn}中的一種含義．
（3）若第（2）題中判斷框Ti＜15改為Ti＜50，閱讀程序框圖寫出所有輸出項的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知函數(shù)f（x）=xlnx，若x＞1，試判斷方程f（x）=（x-1）（ax-a-1）的解的個數(shù)．

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5．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+$\frac{4}{x}$（a∈R），當(dāng)方程f（x）=2恰有兩個實數(shù)根時，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=$\frac{ax}{x+1}$．
（1）若a=e，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．設(shè)變量x，yi滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$，則z=x+2y的最大值為（　　）
A．21B．15C．-3D．-15

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．設(shè)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，g（x）是定義域為R的偶函數(shù)，若函數(shù)f（x）+g（x）的值域為[1，3），則函數(shù)f（x）-g（x）的值域為（-3，-1]．

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同步練習(xí)冊答案