Question

15．已知函數(shù)f（x）=xlnx，若x＞1，試判斷方程f（x）=（x-1）（ax-a-1）的解的個數(shù)．

Answer 1

分析 方程f（x）=（x-1）（ax-a-1）可化為a=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$，從而再令g（x）=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$，求導(dǎo)g′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）^{2}-2xlnx（x-1）}{（x-1）^{4}}$-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{-lnx（x+1）}{（x-1）^{3}}$＜0，從而確定g（x）是減函數(shù)，再求極限可得$\underset{lim}{x→1}$（$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$）→+∞，$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$）=0，從而確定方程的解的個數(shù)．

解答 解：∵f（x）=xlnx，f（x）=（x-1）（ax-a-1）且x＞1，
∴xlnx=（x-1）（ax-a-1），
∴a=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$，
則g′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）^{2}-2xlnx（x-1）}{（x-1）^{4}}$-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$
=$\frac{-lnx（x+1）}{（x-1）^{3}}$＜0，
故g（x）=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$在（1，+∞）上是減函數(shù)，
又$\underset{lim}{x→1}$（$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$）→+∞，$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$）=0，
故當(dāng)a≤0時，方程f（x）=（x-1）（ax-a-1）無解，
當(dāng)a＞0時，方程f（x）=（x-1）（ax-a-1）有且只有一個解．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及化簡運算的能力，屬于中檔題．