Question

設(shè)（1+

1

2

x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_mx^m，若a₀，a₁，a₂成等差數(shù)列．
（1）求（1+

1

2

x）^m展開式的中間項；
（2）求（1+

1

2

x）^m展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和．

Answer 1

考點(diǎn)：二項式系數(shù)的性質(zhì),二項式定理的應(yīng)用

專題：二項式定理

分析：（1）由2a₁=a₀+a₂，求得m=8，可得(1+

1

2

x)m展開式的中間項是第五項，再根據(jù)通項公式求得結(jié)果．
（2）在所給的等式中，分別令x=1、x=-1，可得2個等式，由這2個等式即可求得展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和．

解答： 解：（1）依題意a₀=1，a1=

m

2

，a2=Cm2(

1

2

)2，由2a₁=a₀+a₂，求得m=1（舍去），或m=8．
所以(1+

1

2

x)m展開式的中間項是第五項為：T5=

C

4 8

(

1

2

x)4=

35

8

x4．
（2）∵(1+

1

2

x)m=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+amxm，
即(1+

1

2

x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，
令x=1，則a0+a1+a2+a3+…+a8=(

3

2

)8，
x=-1，則a0-a1+a2-a3+…+a8=(

1

2

)8，
所以，a1+a3+a5+a7=

38-1

29

=

205

16

所以展開式中含x的奇次冪的系數(shù)和為

205

16

．

點(diǎn)評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式的系數(shù)和常用的方法是賦值法，屬于基礎(chǔ)題．