Question

19．如圖，60°的二面角棱上有A′，B′兩點，直線AA′，BB′分別在這個二面角的半平面內(nèi)，且都垂直于A′B′，已知A′B′=3，AA′=3，BB′=5，則AB的長度為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由已知得${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{A{A}^{'}}+\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{B}^{'}B}$）²=${\overrightarrow{A{A}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{B}^{'}B}}^{2}$+2|$\overrightarrow{A{A}^{'}}$|×|$\overrightarrow{{B}^{'}B}$|×cos120°，由此能求出AB的長度．

解答 解：∵60°的二面角棱上有A′，B′兩點，
直線AA′，BB′分別在這個二面角的半平面內(nèi)，且都垂直于A′B′，
A′B′=3，AA′=3，BB′=5，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{A{A}^{'}}+\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{B}^{'}B}$）²=${\overrightarrow{A{A}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{B}^{'}B}}^{2}$+2|$\overrightarrow{A{A}^{'}}$|×|$\overrightarrow{{B}^{'}B}$|×cos120°
=9+9+25-2×$3×5×\frac{1}{2}$=28，
∴AB的長度為|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{7}$．
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查空間中兩點間距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．