Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)．
（1）求b、c的值；
（2）求g（x）極值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，g（x）=f（x）-f′（x）=x³+bx²+cx-3x²-2bx-c=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c，
因為g（x）為奇函數(shù)，所以g（-x）=-g（x），
即-x³+（b-3）x²-（c-2b）x-c=-[x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c]，
也即2（b-3）x²=2c，
所以b=3，c=0．
（2）由（1）知，g（x）=x³-6x，
g′（x）=3x²-6=3（x+）（x-），令g′（x）=0，得x=-或x=，
當(dāng)x＜-或x＞時，g′（x）＞0，當(dāng)-＜x＜時，g′（x）＜0，
所以g（x）在（-∞，-），（，+∞）上單調(diào)遞增，在（-，）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=-時，g（x）取得極大值g（-）=4；當(dāng)x=時，g（x）取得極小值g（）=-4．
分析：（1）先求出f′（x），從而得到g（x），由g（x）為奇函數(shù)，可得g（-x）=-g（x）總成立，從而可求出b，c值；
（2）由（1）寫出g（x），求g′（x），由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，由此可得到極值．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值及函數(shù)的奇偶性，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在點x₀處取得極值的充要條件是f′（x₀），且導(dǎo)數(shù)在x₀左右兩側(cè)異號．