Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+b}$為定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a，b的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則有f（0）=0，f（1）=-f（-1），代入數(shù)據(jù)，計(jì)算可得a、b的值；
（2）首先對f（x）的表達(dá)式變形可得f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，用作差法判斷函數(shù)單調(diào)性即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+b}$定義在R上的奇函數(shù)，
則有f（0）=0，即$\frac{1-a}{1+b}$=0，解可得a=1；
又f（1）=-f（-1），即$\frac{2-a}{2+b}$=-$\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+b}$，解可得b=1．
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
（2）由（1）可得，f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．