Question

5．定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[0，1]上單調遞增，設a=f（3），b=f（$\sqrt{2}$），c=f（2），則a，b，c大小關系是（　�。�

• A． b＞c＞a
• B． a＞c＞b
• C． a＞b＞c
• D． c＞b＞a

Answer 1

分析 由條件可得函數的周期為2，再根據a=f（3）=f（1），b=f（$\sqrt{2}$）=f（2-$\sqrt{2}$），c=f（2）=f（0），0＜2-$\sqrt{2}$＜1，且函數f（x）在[0，1]上單調遞增，可得a，b，c大小關系．

解答 解：∵偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函數的周期為2．
由于a=f（3）=f（1），b=f（$\sqrt{2}$）=f（2-$\sqrt{2}$），c=f（2）=f（0），
由于0＜2-$\sqrt{2}$＜1，且函數f（x）在[0，1]上單調遞增，
∴a＞b＞c，
故選C．

點評 本題主要考查函數的單調性、奇偶性、周期性的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．