Question

（2014•南昌模擬）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|=5，則△AOB的面積為（ ）

A.5 B. C. D.

Answer 1

B

【解析】

試題分析：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），算出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)解消去x可得y2﹣y﹣4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出y1y2=﹣4．根據(jù)|AF|=5利用拋物線的拋物線的定義算出x1=4，可得y1=±4，進(jìn)而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面積公式加以計(jì)算，即可得到△AOB的面積．

【解析】
根據(jù)題意，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0）．

設(shè)直線AB的斜率為k，可得直線AB的方程為y=k（x﹣1），

由消去x，得y2﹣y﹣4=0，

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2=﹣4．

根據(jù)拋物線的定義，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，

代入拋物線方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，

∵當(dāng)y1=4時，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；當(dāng)y1=﹣4時，由y1y2=﹣4得y2=1，

∴|y1﹣y2|=5，即AB兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對值等于5．

因此△AOB的面積為：

S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|•|y1|+|OF|•|y2|=|OF|•|y1﹣y2|=×1×5=．

故選：B