已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-
2
3
與x=1時都取得極值．
（1）求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（0）=1，且x∈[-1，2]，求函數(shù)f（x）的最值．
考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求f′（x），根據(jù)極值的概念，容易建立關(guān)于a，b的方程組，解方程組即得a，b的值，這時候就可以求f′（x）了，根據(jù)f′（x）的符號即可找到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)條件可求出c，根據(jù)（1）可以知道函數(shù)f（x）在[-1，2]上導(dǎo)數(shù)f′（x）的符號，根據(jù)極值的定義可求出f（x）在[-1，2]上的極值，并求出端點值從而根據(jù)最值的概念求出函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最值．
解答： 解：f′（x）=3x2+2ax+b；
∴
f′(-
2
3
)=
4
3
-
4
3
a+b=0
f′(1)=3+2a+b=0
，解得a=-
1
2
，b=-2；
（1）f′（x）=3x2-x-2=（x-1）（3x+2）；
∴x∈（-2，1）時，f′（x）＜0，∴[-2，1]是函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）f（0）=c=1；
∴f（x）=x3-
1
2
x2-2x+1，由（1）知：x∈[-1，1）時，f′（x）＜0；x∈（1，2]時，f′（x）＞0；
∴f（1）=-
1
2
是函數(shù)f（x）的極小值，又f（-1）=
3
2
，f（2）=3；
∴函數(shù)f（x）的最小值是-
1
2
，最大值是3．
點評：考查極值的概念，在極值點處的導(dǎo)數(shù)情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及求閉區(qū)間上函數(shù)最值的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以線段AB：x+y-2=0（0≤x≤2）為直徑的圓的方程為（　�。�
A、（x+1）2+（y+1）2=2
B、（x-1）2+（y-1）2=2
C、（x+1）2+（y+1）2=8
D、（x-1）2+（y-1）2=8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P：2≤m≤8，Q：函數(shù)f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在極大值和極小值，求使“P∩￢Q”為真命題的m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：若數(shù)列{An}滿足An+1=An2，則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{an}中，a1=2，點（an，an+1）在函數(shù)f（x）=2x2+2x的圖象上，其中n∈N*．
（1）證明：數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2an+1）}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求數(shù)列{an}的通項公式及Tn；
（3）記bn=log (2an+1)Tn，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求Sn＞2013的n的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知命題p：方程x2-（2+a）x+2a=0在[-1，1]上有且僅有一解；命題q：存在實數(shù)x使不等式
x2+2ax+2a≤0成立．若命題“p∧q”是真命題，求a的取值范圍．
（2）已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0，求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義函數(shù)fn（x）=（1+x）n-1，（x＞-2，n∈N*），其導(dǎo)函數(shù)記為fn′（x）．
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）設(shè)
fn′(x0)
fn+1′(x0)
=
fn(1)
fn+1(1)
，求證：0＜x0＜1；
（3）是否存在區(qū)間[a，b]⊆（-∞，0]，使函數(shù)h（x）=f3（x）-f2（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，b]．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+Inx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）在[
1
2
，2]上的最值；
（Ⅱ）當(dāng)1＜x＜2時，求證（x+1）Inx＞2（x-1）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-x2-3，g（x）=
a
x
+xlnx，其中a∈R．
（1）若存在x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）-f（x2）≥M，求整數(shù)M的最大值；
（2）若對任意的s，t∈[
1
2
，2]，都有f（t）≤g（s），求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+mx2（m∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若A，B是函數(shù)f（x）圖象上不同的兩點，且直線AB的斜率恒大于1，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案