Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+Inx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[

1

2

，2]上的最值；
（Ⅱ）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，求證（x+1）Inx＞2（x-1）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x），求f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的極值情況，再求端點(diǎn)值，即可得到函數(shù)f（x）的最值．
（Ⅱ）為便于求導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閤+1＞0，所以要證明原不等式成立，只要證明lnx＞

2(x-1)

x+1

即可．構(gòu)造函數(shù)F（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，求導(dǎo)數(shù)F′（x）判斷函數(shù)F（x）在（1，2）上的單調(diào)性，經(jīng)判斷得到F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，所以F（x）＞F（1）=0，這樣即證出lnx＞

2(x-1)

x+1

，所以證出原不等式．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

x

+lnx-1，f′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

；
∴x∈[

1

2

，1)時(shí)，f′（x）＜0；x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0；
f（1）=0是函數(shù)f（x）的極小值，即f（x）的最小值；又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=ln2-

1

2

；
∴f（x）的最大值是1-ln2；
∴函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最小值是0，最大值是1-ln2；
（Ⅱ）∵x+1＞0，∴要證明原不等式成立，只要證明lnx＞

2(x-1)

x+1

；
設(shè)F（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，則F′（x）=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0；
∴函數(shù)F（x）在（1，2）上是增函數(shù)，∴F（x）＞F（1）=0；
∴lnx＞

2(x-1)

x+1

；
∴原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：考查極值的概念，求閉區(qū)間上函數(shù)最值的方法，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的定義，對(duì)于第二問對(duì)原不等式的變形，是證明本問的關(guān)鍵．