【題目】已知函數(shù)y=f(x),若在定義域內(nèi)存在x0 , 使得f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn).
(1)若a∈R,a≠0,證明:函數(shù)f(x)=ax2+x﹣a必有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn);
(2)若函數(shù)f(x)=2x+b在區(qū)間[﹣1,1]內(nèi)有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)證明:∵f(x)=ax2+x﹣a,∴f(﹣x)=ax2﹣x﹣a,

令f(﹣x)=﹣f(x)得ax2﹣x﹣a=﹣ax2﹣x+a,化簡(jiǎn)得ax2﹣a=0(a≠0),

∵△=4a2>0恒成立,

∴方程f(﹣x)=﹣f(x)必定有解,即函數(shù)f(x)=ax2+x﹣a必有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn).


(2)解:f(x)=2x+b,f(﹣x)=2x+b,

令f(﹣x)=﹣f(x)得2x+2x=﹣2b,即b=﹣ (2x+2x),

令2x=t,g(t)=﹣ (t+ ),∵x∈[﹣1,1],∴ ,

∴g′(t)=﹣ + ,令g′(t)=0得t=1或t=﹣1(舍).

當(dāng) ≤t<1時(shí),g′(t)>0,當(dāng)1<t≤2時(shí),g′(t)<0,

∴g(t)在[ ,1]上單調(diào)遞增,在(1,2]單調(diào)遞減,

∵g( )=﹣ ,g(1)=﹣1,g(2)=﹣ ,

∴g(t)的最大值為﹣1,g(t)的最小值為﹣

∴b的取值范圍是


(3)解:f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3,f(﹣x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3,

令f(﹣x)=﹣f(x)得4x+4x﹣2m(2x+2x)+2(m2﹣3)=0(*),

∵f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn),

∴4x+4x﹣2m(2x+2x)+2(m2﹣3)=0在R上有解.

令2x+2x=t,則t∈[2,+∞),4x+4x=t2﹣2,

∴關(guān)于t的方程t2﹣2mt+2m2﹣8=0在t∈[2,+∞)上有解,

令h(t)=t2﹣2mt+2m2﹣8,則h(2)=2m2﹣4m﹣4≤0或

解得: ,即1﹣ ≤m≤2

∴m的取值范圍是[1﹣ ,2 ].


【解析】(1)令f(﹣x)=﹣f(x)得出關(guān)于x的方程,根據(jù)判別式證明方程有解即可;(2)令f(﹣x)=﹣f(x)得出關(guān)于x的方程,令t=2x得出b關(guān)于t的函數(shù)g(t),求出函數(shù)g(t)在[ ,2]上的值域即可;(3)令f(﹣x)=﹣f(x)得出關(guān)于x的方程,令2x+2x=t得出關(guān)于t的一元二次方程在[2,+∞)上有解,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)不等式方程組求出m的范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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x

3

4

5

6

y

2.5

t

4

4.5


A.產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān)
B.t的取值必定是3.15
C.回歸直線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn)(4,5,3,5)
D.A產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸,則相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸

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(Ⅰ)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于產(chǎn)品年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)問(wèn):年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大?

注:年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年總成本.

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(1)求函數(shù)f(x)的解析式和圖象的對(duì)稱(chēng)中心;
(2)若 時(shí),關(guān)于x的方程2f(x)+1﹣m=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若不等式上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(Ⅲ)若,求證不等式.

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X

0

1

P

9c2﹣c

3﹣8c


A.
B.
C.
D.1

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A.
B.
C.
D.

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【題目】給出下列命題中

非零向量滿(mǎn)足,則的夾角為;

0的夾角為銳角的充要條件;

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