Question

2．函數(shù)f（x）=e^x+e^-x，g（x）=f（2x）+mf（x），對任意x∈R，g（x）≥0，則m的取值范圍是（　　）

• A． [-4，+∞）
• B． [-1，+∞）
• C． [0，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得e^2x+e^-2x+m（e^x+e^-x）≥0，可令t=e^x+e^-x（t≥2），由參數(shù)分離可得-m≤$\frac{{t}^{2}-2}{t}$，運用函數(shù)的單調(diào)性求得右邊的最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：g（x）≥0即為f（2x）+mf（x）≥0，
即有e^2x+e^-2x+m（e^x+e^-x）≥0，
由x∈R，e^x＞0，e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
可令t=e^x+e^-x（t≥2），
即有e^2x+e^-2x=（e^x+e^-x）²-2=t²-2，
則有-m≤$\frac{{t}^{2}-2}{t}$，
由$\frac{{t}^{2}-2}{t}$=t-$\frac{2}{t}$在[2，+∞）遞增，
即有t=2，取得最小值，且為2-1=1，
則有-m≤1，
解得m≥-1．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．