Question

在正四棱錐P-ABCD中，PA=2，直線PA與平面ABCD所成的角為60°．
（1）求正四棱錐P-ABCD的表面積S和體積V．
（2）求二面角P-BC-A的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間角

分析：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接AO，由已知條件求出PO=

3

，AO=1，AB=

2

，由此能求出正四棱錐P-ABCD的表面積S和體積V．
（2）以O(shè)為原點，op為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-BC-A的余弦值．

解答： 解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接AO，
O是正方形ABCD的中心，
∠PAO是直線PA與平面ABCD所成的角，
∠PAO=60°，PA=2，
∴PO=

3

，AO=1，AB=

2

，
∴正四棱錐P-ABCD的表面積：
S=4S_△PAB+S_ABCD
=4×

1

2

×

2

×

4- 1 2

+

2

×

2

=2

7

+2，
體積V=

1

3

×PO×SABCD=

1

3

×

3

×

2

×

2

=

2 3

3

．
（2）以O(shè)為原點，op為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，

3

），B（

2

2

，

2

2

，0），C（-

2

2

，

2

2

，0），
∴

PB

=(

2

2

，

2

2

，-

3

)，

PC

=(-

2

2

，

2

2

，-

3

)，
設(shè)平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB = 2 2 x+ 2 2 y- 3 z=0 n • PC =- 2 2 x+ 2 2 y- 3 z=0

，取y=2

3

，得

n

=(0，2

3

，

2

)，
由題意知平面ABC的法向量

m

=(0，0，1)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

2

4

，
∴二面角P-BC-A的余弦值為

2

4

．

點評：本題考查正四棱錐的表面積和體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．