Question

（2013•成都二模）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若滿足對?x₁，x₂∈D，且x₁＜x₂時都有 f（x₁）≥f（x₂），則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“非增函數(shù)”．若f（x）為區(qū)間[0，1]上的“非增函數(shù)”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又當(dāng)x∈[0，

1

4

]時，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命題：
①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
②當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，時，f（x₁）≠f（x）
③f（

1

8

）+f（

5

11

）+f（

7

13

）+f（

7

8

）=2；
④當(dāng)x∈[0，

1

4

]時，f（f（x））≤f（x）．
其中你認為正確的所有命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：對于①，在等式f（x）+f（l-x）=l中取x=0，得f（1）=0，然后直接利用“非增函數(shù)”的定義進行判斷；
②可以根據(jù)“非增函數(shù)”的定義進行判斷．③利用條件f（x）+f（l-x）=l，可得f（

1

8

）+f（

7

8

）=1，然后求f（

5

11

）和f（

7

13

）的值．
④當(dāng)x∈[0，

1

4

]時，判斷f（x）與x的大小關(guān)系即可．

解答：解：對于①，因為f（0）=1，且f（x）+f（l-x）=l，取x=0，得f（1）=0，對?x∈[0，1]，根據(jù)“非增函數(shù)”的定義知f（x）≥0．所以①正確；
對于②，由定義可知當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時，f（x₁）與f（x₂）可能相等．所以②不正確；
③由f（x）+f（l-x）=l，得f（

1

8

）+f（

7

8

）=1．因為當(dāng)x∈[0，

1

4

]時f（x）≤-2x+1恒成立，所以f（

1

4

）≤

1

2

，又f（x）+f（l-x）=l，所以f（

1

2

）=

1

2

，而

1

4

＜

1

2

，所以f（

1

4

）≥

1

2

，即f（

1

4

）=

1

2

，同理有f（

3

4

）=

1

2

，當(dāng)x∈[

1

4

，

3

4

]時，由“非增函數(shù)”的定義可知，f（

3

4

）≤f（x）≤f（

1

4

），即f（x）=

1

2

．所以f（

5

11

）=f（

7

13

）=

1

2

．所以f（

1

8

）+f（

5

11

）+f（

7

13

）+f（

7

8

）=2，所以③成立．
④當(dāng)x∈[0，

1

4

]時，x≤-2x+1，因為函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“非增函數(shù)”，所以f（x）≥f（-2x+1），所以f（f（x））≤f（-2x+1）≤f（x）．所以④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與運用，考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是正確理解新定義．