Question

橢圓的中心為坐標原點,點分別是橢圓的左、右頂點,為橢圓的上頂點,一個焦點為,離心率為.點是橢圓上在第一象限內(nèi)的一個動點,直線與軸交于點,直線與軸交于點.

（I）求橢圓的標準方程；

（II）若把直線的斜率分別記作，求證：；

 (III) 是否存在點使，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

解: （I）由題意，可設(shè)橢圓C的方程為,則，，

所以，，                      

  所以橢圓C的方程為.                  

   （II）由橢圓C的方程可知，點的坐標為，點的坐標為,

    設(shè)動點的坐標為，由題意可知,

    直線的斜率，直線的斜率,

    所以 ,                          

  因為點在橢圓上，

    所以,即,                

    所以                           

  （III）設(shè)直線的方程為，

   令，得，所以點的坐標為,          

   設(shè)直線的方程為，

   令，得，所以點的坐標為,         

   由橢圓方程可知，點的坐標為,

   由，得,

   由題意，可得

整理得,                                    

   與聯(lián)立,消可得,

   解得或 ,                                 

   所以直線的直線方程為或,

   因為與橢圓交于上頂點，不符合題意.

   把代入橢圓方程,得,

   解得或,                                     

   因為，所以點的坐標為.