Question

函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由題意可得f′（2）=0，f′（1）=-3，代入可求出a、b的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得函數(shù)的極大值為f（0）=c，極小值為f（2）=c-4．

解答： 解：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f′（x）=3x²+6ax+3b，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=2取得極值，所以f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0①
又因?yàn)閳D象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行
所以f′（1）=3+6a+3b=-3
即2a+b+2=0②
聯(lián)立①②可得a=-1，b=0
（Ⅱ）f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，x＜0或x＞2；當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，0＜x＜2
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 （-∞，0）和（2，+∞）；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，2）
因此求出函數(shù)的極大值為f（0）=c，極小值為f（2）=c-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．