Question

直線l：y=kx-10與圓C：x²+y²+mx+2y-4=0交于M、N兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線m：x+2y=0對(duì)稱，
（1）求直線l截圓所得的弦長(zhǎng)；
（2）直線n：y=3x-5，過(guò)點(diǎn)C的直線與直線l、n分別交于P、Q兩點(diǎn)，C恰為PQ的中點(diǎn)，求直線PQ的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：（1）通過(guò)l⊥m，求出C（2，-1），利用圓心到直線的距離以及半徑半弦長(zhǎng)的關(guān)系，即可求直線l截圓所得的弦長(zhǎng)；
（2）利用直線n：y=3x-5，過(guò)點(diǎn)C的直線與直線l、n分別交于P、Q兩點(diǎn)，求出P、Q坐標(biāo)．求出PQ的斜率，即可求直線PQ的方程．

解答： 解：（1）∵l⊥m，
∴k×(-

1

2

)=-1，
∴k=2，
∴l(xiāng)：2x-y-10=0，
C(-

m

2

，-1)在m上，-

m

2

+2(-1)=0，m=-4，
則C（2，-1），
r=3
設(shè)C到l的距離為d，則d=

|2×2-(-1)-10|

22+(-1)2

=

5

，

|MN|

2

=

r2-d2

=2，
∴弦長(zhǎng)為4；
（2）設(shè)P（a，b），則Q（4-a，-2-b），
又P∈l，Q∈n，則有

b=2a-10 -2-b=3(4-a)-5

解之得

a=-1 b=-12

，P（-1，-12），
KPQ=

-1-(-12)

2-(-1)

=

11

3

，
直線PQ的方程為y+1=

11

3

(x-2)
即11x-3y-25=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離，直線方程的求法，考查計(jì)算能力．