Question

已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中：
（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線交于，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1） ，；（2）存在定點(diǎn).

試題分析：（1）設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，由點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出基本量即得；（2）巧設(shè)直線的方程為，由直線與橢圓相切，求得，利用直線與的準(zhǔn)線相交求點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出以為直徑的圓的方程，利用恒成立求解.
試題解析：（1）設(shè)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，∵和代入拋物線方程中得到的解相同，∴，     （3分）
又和在橢圓上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，，則，
的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，.       （6分）
（2）設(shè)直線的方程為，將其代入消去并化簡(jiǎn)整理得：
，又直線與橢圓相切，
∴，∴，    （8分）
設(shè)切點(diǎn)，則，，
又直線與的準(zhǔn)線的交點(diǎn)，
∴以為直徑的圓的方程為，     （10分）
化簡(jiǎn)整理得恒成立，
故，，即存在定點(diǎn)符合題意.      （13分）