Question

（本小題滿分14分）已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸，動(dòng)點(diǎn)在上，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記點(diǎn)的軌跡為．

（1）求曲線的方程；

（2）若直線是曲線的一條切線，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、向量的數(shù)量積、均值定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力. 第一問，設(shè)出P、Q點(diǎn)坐標(biāo)，由題意知，，利用兩直線的斜率相乘為-1，得到曲線C的方程；第二問，設(shè)出直線的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，由于直線是曲線的一條切線，所以，解出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離d，利用均值定理求出d的最小值，并求出等號(hào)成立的條件，即k的值，從而得到直線的方程.

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵,

∴. （或者用向量：，且得出）

當(dāng)時(shí),得,化簡(jiǎn)得. 2分

當(dāng)時(shí), 、、三點(diǎn)共線，不符合題意，故.

∴曲線的方程為. 4分

（2）解法1:∵ 直線與曲線相切,

∴直線的斜率存在.

設(shè)直線的方程為, 5分

由 得.

∵ 直線與曲線相切, 則 ,即.

∴ 直線的方程為 6分

∴ 點(diǎn)到直線的距離 7分

8分

9分

. 10分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí). 12分

∴直線的方程為或. 14分

解法2：由，得， 5分

∵直線與曲線相切, 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，

則直線的方程為：，化簡(jiǎn)得. 6分

點(diǎn)到直線的距離 7分

8分

9分

. 10分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 12分

∴直線的方程為或. 14分

解法3：由，得， 5分

∵直線與曲線相切, 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，

則直線的方程為：，化簡(jiǎn)得. 6分

點(diǎn)到直線的距離 7分

8分

9分

. 10分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立,此時(shí). 12分

∴直線的方程為或. 14分

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、向量的數(shù)量積、均值定理.