Question

【題目】設函數．

（1）若在處取到極值，求，的值，并求的單調區(qū)間；

（2）若對任意，都存在（為自然對數的底數），使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）首先求出導函數，根據題意可得，求出，的值，然后令，求出單調遞增區(qū)間，令，求出單調遞減區(qū)間.

（2）令，，是關于的一次函數且為減函數，根據題意只需令，存在，使得即可，求出，令，討論的取值范圍，確定的單調性，根據函數的單調性即可求解.

解：（1），

由題意，得，

即，解得

所以，．

所以，．

令，解得．令，解得．

所以的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為．

（2）令，，

則是關于的一次函數且為減函數，

由題意，對任意，都存在，使得成立，．

則在有解．

令，只需存在，使得即可．

由于，

令，，則在上遞增，．

①當時，，，即，在單調遞增，

故，不符合題意．

②當時，，，

若，則，

所以在上恒成立，即恒成立，所以在上單調遞減，

所以存在，使得，符合題意．

若，則，所以在上一定存在實數，使得，

所以在上恒成立，即恒成立，所以在上單調遞減，

所以存在，使得，符合題意．

綜上所述，當時，對任意，都存在，使得成立．