Question

【題目】過軸正半軸上的動點作曲線：的切線，切點為，，線段的中點為，設曲線與軸的交點為．

（1）求的大小及的軌跡方程；

（2）當動點到直線的距離最小時，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

（1）設過點，斜率為的直線的方程為，代入得，由相切得，同時得到切點坐標為，設切線，的斜率分別為，，則可得，同時得出切點的坐標，利用計算可得．再由兩點坐標得中點坐標，消去參數(shù)可得點軌跡方程；

（2）由點到直線距離公式求得到直線的距離后可得其最小值及此時點坐標，點坐標，從而得直線方程，代入已知拋物線方程應用韋達定理可求得弦長，再求出到直線的距離后可得三角形面積．

解：（1）設過點，斜率為的直線的方程為，

代入得，

當直線和拋物線相切時，有，即，此時切點坐標為．

設切線，的斜率分別為，，則，，

相應點的坐標為，，，

所以，所以．

中點的橫坐標為，

縱坐標為，

所以的軌跡方程為．

（2）動點到直線的距離為，

當且僅當時取等號，此時，，

∴由（1）得中點坐標是，設，則由得，所以，

所以直線的方程為，即，代入曲線的方程得，則，．

，

點到直線的距離為，

所以的面積為．