Question

4．（1）求函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{3}$-2cosx）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）=2cos²x+3sinx-5的值域．

Answer 1

分析 （1）要使函數(shù)有意義，則需$\sqrt{3}$-2cosx＞0，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到定義域．
（2）換元sinx=t，則函數(shù)化成y=2（1-t²）+3t-5=-2（t-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{15}{8}$，其中t∈[-1，1]．然后根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，即可求出函數(shù)f（x）=2cos²x+3sinx-5的值域．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則需$\sqrt{3}$-2cosx＞0，即有cosx＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則有2kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜2kππ+$\frac{11}{6}$π，k∈Z
則定義域為（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kππ+$\frac{11}{6}$π），k∈Z；
（2）設(shè)sinx=t，則cos²x=1-t²，
∴y=2cos²x+3sinx-5=2（1-t²）+3t-5=-2（t-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{15}{8}$，
∵t=sinx∈[-1，1]，
∴當t=$\frac{3}{4}$時，y_max=-$\frac{15}{8}$；當t=-1時，y_min=-8，
因此，函數(shù)y=cos²x-2sinx的值域是[-8，-$\frac{15}{8}$]．

點評 本題考查函數(shù)的定義域的求法，注意對數(shù)的真數(shù)大于0，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域等知識，屬于中檔題．