【題目】設(shè)整數(shù)滿足.記.求f的最小值f0.并確定使f=f0成立的數(shù)組的個數(shù).

【答案】；個.

【解析】

根據(jù)題設(shè)條件，化簡得到，在結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最小值，再由對每個k(1≤k≤49)，設(shè)等于k的項數(shù)為，結(jié)合方程的正整數(shù)解的組數(shù)，即可求解.

由題意，，

可得， ①

由于及均為非負整數(shù)，故有，

且，

于是，②

由①，②得，

結(jié)合及，

可知，③

另一方面，令，，，

此時驗證，知上述所有不等式均取到等號，從而f的最小值.

以下考慮③的取等條件.此時，且②中的不等式均取等，

即.

因此，且對每個k(1≤k≤49)，中至少有兩項等于k.易驗證，知這也是③取等的充分條件.

對每個k(1≤k≤49)，設(shè)等于k的項數(shù)為，

則nk為正整數(shù)，且，

即，

該方程的正整數(shù)解的組數(shù)為，

且每組解唯一對應一個使④取等的數(shù)組，

故使成立的數(shù)組有個.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．

①討論f（x）的單調(diào)性；

②若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

（2）已知a＞0，函數(shù)g（x）恰有兩個不同的極值點x1，x2，證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當m=6時，求函數(shù)的極值;

（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[1，4]上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】著名數(shù)學家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，我們經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如某體育品牌的LOGO為，可抽象為如圖所示的軸對稱的優(yōu)美曲線，下列函數(shù)中，其圖象大致可“完美”局部表達這條曲線的函數(shù)是( )

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．曲線的極坐標方程為，曲線與曲線的交線為直線．

（1）求直線和曲線的直角坐標方程；

（2）直線與軸交于點，與曲線相交于，兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A.是最小正周期為的奇函數(shù)

B.是圖像的一個對稱中心

C.在上單調(diào)遞增

D.先將函數(shù)圖象上各點的縱坐標縮短為原來的，然后把所得函數(shù)圖象再向左平移個單位長度，即可得到函數(shù)的圖象.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，證明曲線分別在點和點處的切線為不同的直線；

（3）已知過點能作曲線的三條切線，求，所滿足的條件.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中

（1）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有極大值，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有9位身高各異的同學拍照留念，分成前后兩排，前排4人，后排5人，要求每排同學的身高從中間到兩邊依次遞減，則不同的排隊方式有________種．

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