Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)m=6時(shí)，求函數(shù)的極值;

（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[1，4]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值，極大值；（2）．

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性求解出函數(shù)的極值；

（2）關(guān)于x的方程可化簡(jiǎn)為，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，通過研究函數(shù)的圖像即可得到答案.

（1）依題意知的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

令，解得或.

則當(dāng)或，，單調(diào)遞增；

當(dāng)，，單調(diào)遞減．

∴所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且極小值為，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且極大值為．

（2）由，可得，

又，所以，即．

令，則，

由，得；由，得，

∴ 在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，且最大值為，

又，，

∴ 當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．