【題目】已知函數,
(1)討論函數的單調性;
(2)當時,證明曲線分別在點和點處的切線為不同的直線;
(3)已知過點能作曲線的三條切線,求,所滿足的條件.
【答案】(1)在上單調遞增,在上單調遞減(2)證明見解析;(3)當時,;當時,
【解析】
(1)對求導,根據的符號判斷的單調性;
(2)先分別求出曲線分別在點和點處的切線方程,然后根據條件證明兩者為不同的直線的方程;
(3)先設直線過點與曲線在點處相切,再設直線,根據兩者聯立得到方程,要求此方程有三個不等實根即可.然后構造函數,研究該函數有3個零點的條件即可.
解:(1)因為,
所以
,
所以當時,;當時,.
所以在上單調遞增,在上單調遞減;
(2)因為,所以,.
又因為,.
所以曲線在點處的切線方程為;
曲線在點處的切線方程為.
因為.所以.所以兩條切線不可能相同.
(3)設直線過點與曲線在點處相切,
設直線,
則
消去,得.
因為過點能作曲線的三條切線,
所以關于的方程有三個不等實根.
設,則有三個零點.
又,
①若,則,
所以在上單調遞增,至多一個零點,
故不符合題意;
②若,則
當時,,單調遞增;
當時,,單調遞減;
當時,,單調遞增.
所以的極大值為,極小值為.
又有三個零點,所以,即,
所以;
③若,則
當時,,單調遞增;
當,,單調遞減;
當時,,單調遞增,
所以的極大值為,極小值為.
又有三個零點,所以,即,
所以,
綜上所述,當時,;當時,.
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【題目】已知數列{an}滿足,an+2=3an+1﹣2an,a1=1,a2=3,記bn,Sn為數列{bn}的前n項和.
(1)求證:{an+1﹣an}為等比數列,并求an;
(2)求證:Sn.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】我國南北朝時期的數學家祖暅提出了一條原理:“冪勢既同,則積不容異”即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.橢球是橢圓繞其長軸旋轉所成的旋轉體,如圖,將底面半徑都為.高都為的半橢球和已被挖去了圓錐的圓柱(被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面,下底面的圓心為頂點)放置于同一平面上,用平行于平面且與平面任意距離處的平面截這兩個幾何體,截面分別為圓面和圓環(huán),可以證明圓=圓環(huán)總成立.據此,橢圓的短半軸長為2,長半軸長為4的橢球的體積是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知橢圓,P是橢圓的上頂點,過點P作斜率為的直線l交橢圓于另一點A,設點A關于原點的對稱點為B
(1)求面積的最大值;
(2)設線段PB的中垂線與y軸交于點N,若點N在橢圓內部,求斜率k的取值范圍.
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【題目】某數學教師在甲、乙兩個平行班采用“傳統(tǒng)教學”和“高效課堂”兩種不同的教學模式進行教學實驗.為了解教改實效,期中考試后,分別從兩個班中各隨機抽取名學生的數學成績進行統(tǒng)計,得到如下的莖葉圖:
(1)求甲、乙兩班抽取的分數的中位數,并估計甲、乙兩班數學的平均水平和分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可);
(2)若規(guī)定分數在的為良好,現已從甲、乙兩班成績?yōu)榱己玫耐瑢W中,用分層抽樣法抽出位同學參加座談會,要再從這位同學中任意選出人發(fā)言,求這人來自不同班的概率.
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【題目】已知頂點為原點的拋物線,焦點在軸上,直線與拋物線交于、兩點,且線段的中點為.
(1)求拋物線的標準方程.
(2)若直線與拋物線交于異于原點的、兩點,交軸的正半軸于點,且有,直線,且和有且只有一個公共點,請問直線是否恒過定點?若是,求出定點坐標;若不是,說明理由.
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