Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若，求函數(shù)在的切線方程；

(2)若函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；

(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析: （1）若，寫出函數(shù),求出切點(diǎn)和斜率,即可寫出切線方程;(2) 函數(shù)可化為，在上為單調(diào)遞減函數(shù),即導(dǎo)函數(shù)小于等于0在在上恒成立,分離參變量,轉(zhuǎn)化為構(gòu)造出的新函數(shù)最值問(wèn)題,對(duì)新函數(shù)求導(dǎo),判斷單調(diào)性求出最值即可;(3) 存在，使得成立,即,又,即f(x)min ,根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,分別得出單調(diào)性進(jìn)而求出最小值,代入不等式求出a的范圍.

試題解析:(1)若，則，，，，

所以所求切線為

（2）函數(shù)可化為，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在上恒成立，恒成立，令，則，

可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所在，

最小值是

(3)命題等價(jià)于“當(dāng)時(shí),有f(x)minf′(x)max+a”，

由(Ⅰ)知,當(dāng)x∈[e,e2]時(shí),lnx∈[1,2],，

=，

問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)x∈[e,e2]時(shí),有f(x)min ”，

①a 時(shí),由(2),f(x)在[e,e2]上為減函數(shù)，

則f(x)min=f(e2)=

∴.

②當(dāng)

由于在上為增函數(shù)，所以的值域?yàn)?/span>

即

若，即，恒成立，所以為增函數(shù)，于是

，不合題意

若，，由的單調(diào)性和值域知

存在唯一，使得，且

,,為減函數(shù)

,,為增函數(shù)

所以

與矛盾

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.