Question

如圖，有一個(gè)形如六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)（算第1層），第2層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有三個(gè)點(diǎn)，依此類推．
（1）試問第n層（n∈N^*且n≥2）的點(diǎn)數(shù)為

 

個(gè)；
（2）如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它一共有

 

層．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：常規(guī)題型,推理和證明

分析：本題屬于歸納推理題，（1）先對第2層、第三層、第四層等的點(diǎn)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，再歸納出一般性規(guī)律；（2）用歸納出的結(jié)論解決問題．

解答： 解：（1）由于形如六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)（算第1層），
第2層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，共有6條邊，點(diǎn)數(shù)為6×2個(gè)，減去重復(fù)的6個(gè)頂點(diǎn)，得到（6×2-6）個(gè)，
第3層每邊有三個(gè)點(diǎn)，共有6條邊，點(diǎn)數(shù)為6×3個(gè)，減去重復(fù)的6個(gè)頂點(diǎn)，得到（6×3-6）個(gè)，
第4層每邊有四個(gè)點(diǎn)，共有6條邊，點(diǎn)數(shù)為6×4個(gè)，減去重復(fù)的6個(gè)頂點(diǎn)，得到（6×4-6）個(gè)，
…
歸納猜想得：
第n層每邊有n個(gè)點(diǎn)，共有6條邊，點(diǎn)數(shù)為6n個(gè)，減去重復(fù)的6個(gè)頂點(diǎn)，得到（6n-6）個(gè)．
（2）由（1）知：1+6+12+18+…+（6n-6）=169，
∴1+

6+(6n-6)

2

×(n-1)=169，
∴n=8．
故答案為：（1）6（n-1）； （2）8．

點(diǎn)評：本題考查的是歸納推理，難點(diǎn)在于找到各層點(diǎn)的個(gè)數(shù)的規(guī)律，本題還可以從項(xiàng)點(diǎn)數(shù)6出發(fā)，加上各邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（n-2），（n≥2）得到6+6（n-2）去計(jì)算．