Question

19．已知雙曲線的中心在原點，焦點為F₁、F₂在x軸上，虛軸長為2$\sqrt{2}$；一條漸近線方程為y=$\sqrt{2}$x，點M在雙曲線上，且$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，則點M到x軸的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的方程，由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，得MF₁⊥MF₂，可知點M在以F₁F₂為直徑的圓x²+y²=3上，由此可以推導出點M到x軸的距離．

解答 解：∵雙曲線的中心在原點，焦點為F₁、F₂在x軸上，虛軸長為2$\sqrt{2}$；一條漸近線方程為y=$\sqrt{2}$x，
∴2b=2$\sqrt{2}$，$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{2}$，a=1
∴雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）．
又∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
∴MF₁⊥MF₂，∴點M在以F₁F₂為直徑的圓x²+y²=3上
故由x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1與x²+y²=3，得|y|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴點M到x軸的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．