Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且S₂+

1

2

a₂=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=a_n•log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和定義即可得出．
（2）b_n=a_n•log₂a_n=（n-1）•2^n-1，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁=1，且S₂+

1

2

a₂=4，
∴1+q+

1

2

q=4，解得q=2，
∴an=2n-1．
（2）b_n=a_n•log₂a_n=（n-1）•2^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=0+2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1，
2T_n=0+2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）×2^n-1+（n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）×2ⁿ=

2(2n-1-1)

2-1

-（n-1）×2ⁿ=（2-n）×2ⁿ-2，
∴Tn=(n-2)×2n+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．