Question

某學(xué)校有120名教師，其年齡都在20～60歲之間，各年齡段人數(shù)按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分組，其頻率分布直方圖如右圖所示．學(xué)校為了適應(yīng)新課程改革，要求每名教師都要參加甲、乙兩項(xiàng)培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試，已知各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示．假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的，結(jié)業(yè)考試也互不影響．

年齡分組	甲項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)	乙項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60）	4	3

（1）若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個(gè)容量為40的樣本，求各年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)，并估計(jì)全校教師的平均年齡；
（2）隨機(jī)從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，求這兩人中至少有一人在甲、乙兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖和頻率分布表和分層抽樣的方法即可求出各年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)，并可估計(jì)全校教師的平均年齡；
（2）根據(jù)互斥事件的概率公式即可求出答案．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖知，年齡段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）的人數(shù)的頻率分別為0.35、0.40、0.15、0.10…1分
∵0.35×40=14，0.40×40=16，0.15×40=6，0.10×40=4…3分
∴年齡段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）應(yīng)取的人數(shù)分別為14、16、6、4…4分
∵各年齡組的中點(diǎn)值分別為25、35、45、55．對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.35、0.40、0.15、0.10．
則

.

x

=25×0.35+35×0.40+45×0.15+55×0.10=35…5分
由此估計(jì)全校教師的平均年齡為35歲．…6分
（2）因?yàn)槟挲g段[20，30）的教師人數(shù)為120×0.35=42人，…7分
年齡段[30，40）的教師人數(shù)為120×0.40=48人，…8分
從年齡段[20，30）任取1人，此人在甲、乙兩項(xiàng)培訓(xùn)考試成績(jī)優(yōu)秀的事件分別記為A、B； 兩項(xiàng)都為優(yōu)秀的事件記為M．
從年齡段[30，40）任取1人，此人在甲、乙兩項(xiàng)培訓(xùn)考試成績(jī)優(yōu)秀的事件分別記為C、D； 兩項(xiàng)都為優(yōu)秀的事件記為N．由表知.P(A)=

30

42

，P(B)=

18

42

，
則P(M)=P(AB)=P(A)•P(B)=

30

42

×

18

42

=

15

49

…9分
P(C)=

36

48

，P(D)=

24

48

，則P(N)=P(CD)=P(C)•P(D)=

36

48

×

24

48

=

3

8

…10分
記這兩人中至少有1人在甲、乙兩項(xiàng)培訓(xùn)考試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的事件為E．
則P(E)=1-[1-P(M)]•[1-P(N)]=1-(1-

15

49

)×(1-

3

8

)=

111

196

…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖和率以及互斥事件的概率公式，屬于中檔題．