Question

正方形ABCD被兩垂直線段EF，GH分割為四個小矩形，P是EF和GH的交點(diǎn)．若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，則∠HAF的大小是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的演繹推理

專題：立體幾何

分析：作出輔助線BM，AM，F(xiàn)H，把求∠HAF的大小轉(zhuǎn)化為求其全等三角形的對應(yīng)角∠MAF的底數(shù)．

解答： 解：如圖，連結(jié)FH，延長CB到M，使BM=DH，連結(jié)AM，

∵Rt△ABM≌Rt△ADH，
∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°，
設(shè)正方形的邊長為a，AG=m，GP=n，則FC=a-n，CH=a-m，
由矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍得：a²-（m+n）a+mn=2mn，
在Rt△FCH中，F(xiàn)H²=（a-n）²+（a-m）²，
∴FH²=FM²=（m+n）²，即FH=MF，
∵AF=AF，AH=AM，
∴△AMF≌△AHF，
∴∠MAF=∠HAF=45°，
故答案為：45°

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是全等三角形的證明，考查了正方形對邊平行且各內(nèi)角均為直角的性質(zhì)，構(gòu)造△DAH的全等三角形△BAM并進(jìn)行證明，是解答的關(guān)鍵．