Question

已知函數(shù)(≠0,∈R)
(Ⅰ)若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若在區(qū)間（0，e］上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（I）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的極小值為1．
（II）．

試題分析：（I）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值的基本題型，利用“表解法”清晰明了.
（II）解答本題的關(guān)鍵是，首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“若在區(qū)間（0，e］上至少存在一點(diǎn)，，使得成立，其充要條件是在區(qū)間（0，e］上的最小值小于0”．
應(yīng)用分類討論思想，就為正數(shù)、負(fù)數(shù)的不同情況加以討論.
試題解析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023550261958.png" style="vertical-align:middle;" />
當(dāng)a=1，，
令，得，
又的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023550339784.png" style="vertical-align:middle;" />，隨的變化情況如下表：

	（0，1）	1
	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以時(shí)，的極小值為1．
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（II）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023550511996.png" style="vertical-align:middle;" />，且
令，得到，
若在區(qū)間（0，e］上至少存在一點(diǎn)，，使得成立，
其充要條件是在區(qū)間（0，e］上的最小值小于0即可．
當(dāng)＜0，
即時(shí)，對(duì)成立，
所以，在區(qū)間（0，e］上單調(diào)遞減，
故在區(qū)間（0，e］上的最小值為，
由，得，即
當(dāng)＞0，即時(shí)，
若，則對(duì)成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，在區(qū)間上的最小值為＞0，
顯然，在區(qū)間上的最小值小于0不成立；
②若，即時(shí)，則有

	(0，)		(，e)
	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以在區(qū)間上的最小值為，
由＝a(1?lna)＜0，
得，解得，即．
綜上，由（1）（2）可知：符合題意．