Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)．
（1）若對函數(shù)f（x）存在極小值，且極小值為0，求a的值；
（2）若對任意x∈[0， ]，不等式f（x）≥ex（1﹣sinx）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣ax，∴f′（x）=ex﹣a，

當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)在R上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；

當a＞0時，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna為函數(shù)的極小值點，

由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e

（2）解：不等式f（x）≥ex（1﹣sinx），即exsinx﹣ax≥0，

設g（x）=exsinx﹣ax，則g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣a，g″（x）=2excosx，

x∈[0， ]時，g″（x）≥0，則g′（x）在x∈[0， ]時為增函數(shù)，∴g′（x）=g′（0）=1﹣a．

①1﹣a≥0，即a≤1時，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0， ]時為增函數(shù)，∴g（x）min=g（0）=0，此時g（x）≥0恒成立；

②1﹣a＜0，即a＞1時，存在x0∈[0， ]，使得g′（x0）＜0，從而x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x0]上是減函數(shù)，

∴x∈（0，x0）時，g（x）＜g（0）=0，不符合題意．

綜上，a的取值范圍是（﹣∞，1]．

【解析】（1）求導函數(shù)，對a討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）存在極小值，且極小值為0，可求a的值；（2）對任意x∈[0， ]，不等式f（x）≥ex（1﹣sinx）恒成立，等價于對任意x∈[0， ]，不等式exsinx﹣ax≥0恒成立，構造新函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．