Question

一個(gè)袋中裝有若干個(gè)大小相同的黑球，白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是，
（Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，
（ⅰ）求白球的個(gè)數(shù)；
（ⅱ）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于．并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．

Answer 1

（Ⅰ）解：（i）記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件A，
設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，
則，得到x=5，
故白球有5個(gè)．
（ii）隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，
分布列是

ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）證明：設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，
由題意得，所以2y＜n，2y≤n-1，
故，
記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，
則，
所以白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于，紅球的個(gè)數(shù)少于，故袋中紅球個(gè)數(shù)最少。