Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDE；
（3）若OP=10，AB=4，求BE與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）先根據(jù)中位線定理得到OE∥AP，進而再由線面平行的判定定理可得到PA∥平面BDE．
（2）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到PO⊥BD，結合AC⊥BD根據(jù)線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，從而根據(jù)面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面BDE，得證；
（3）取OC的中點F，連接EF和BF，可得∠EBF為BE與底面ABCD所成角，即可求出BE與底面ABCD所成角的正切值．

解答： 證明：（1）連接OE，
在△CAP中，CO=OA，CE=EP
∴PA∥EO，
又∵PA?平面BDE，EO?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）∵PO⊥底面ABCD，
PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．                                      
∵BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE；
（3）取OC的中點F，連接EF和BF，則OP∥EF，EF=5
又∵OP⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，
∴∠EBF為BE與底面ABCD所成角．
∵OF=

1

2

OB=

2

，BF=

OB2+OF2

=

10

，
∴tan∠EBF=

EF

BF

=

10

2

．

點評：本題考查線面平行的判定與面面垂直的判定．證明線面平行常有兩種思路：一是線線平行⇒線面平行；二是面面平行⇒線面平行．證明面面垂直的常用方法是：線面垂直⇒面面垂直．