Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x，都有f（1+x）=f（1-x），且f（x）在（-∞，1]上是單調(diào)遞增，若x₁＜x₂，且x₁+x₂=3，則f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系是（　�。�

• A、f（x₁）＜f（x₂）
• B、f（x₁）=f（x₂）
• C、f（x₁）＞f（x₂）
• D、不能確定

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若x₁≤1，利用對稱性把f（x₁）變到區(qū)間[1，+∞）上用單調(diào)性與f（x₂）比較；若x₁＞1，則由1＜x₁＜x₂直接用單調(diào)性可進行大小比較．

解答： 解：∵f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，
∵f（x）在（-∞，1]上是單調(diào)遞增，
∴f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞減，
若x₁≤1，由x₁+x₂=3＞2，得x₂＞2-x₁≥1，
∴f（x₁）=f（2-x₁）＞f（x₂）；
若x₁＞1，則1＜x₁＜x₂，∴f（x₁）＞f（x₂），
綜上知f（x₁）＞f（x₂），
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生靈活運用知識分析解決問題的能力，由所給條件分析出函數(shù)的對稱性、單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合是分析本題的有力工具．