Question

【題目】已知點(diǎn) ，點(diǎn)P是圓 上的任意一點(diǎn)，設(shè)Q為該圓的圓心，并且線段PA的垂直平分線與直線PQ交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的軌跡方程；
（2）已知M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0），點(diǎn)T是直線x=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線TM，TN分別交（1）中點(diǎn)E的軌跡于C，D兩點(diǎn)（M，N，C，D四點(diǎn)互不相同），證明：直線CD恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|EA|+|QE|=|EQ|+|PE|=4，且|QA|=2 ＜4，

∴點(diǎn)E的軌跡是以A，Q為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)橢圓方程為 =1，則2a=4，c= ，∴a=2，b= =1．

所以點(diǎn)E的軌跡方程為：

（2）解：依題意設(shè)直線CD的方程為：x=my+n，

代入橢圓方程x2+4y2=4得：（4+m2）y2+2mny+（n2﹣4）=0

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則 ， ．

∵直線TM方程為 ，直線TN方程為 ，

由題知TM，TN的交點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為4，∴ ，即3y1（x2﹣2）=y2（x1+2），

即：3y1（my2+n﹣2）=y2（my1+n+2），整理得：2my1y2=（n+2）y2﹣3（n﹣2）y1，

∴

化簡(jiǎn)可得： ．

∵當(dāng)m，y1變化時(shí)，上式恒成立，∴n=1，

∴直線CD恒過一定點(diǎn)（1，0）

【解析】（1）利用橢圓的定義即可得出E的軌跡方程；（2）設(shè)CD方程x=my+n，代入橢圓方程消元，得出C，D坐標(biāo)的關(guān)系，求出TM，TN的方程，根據(jù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4得出恒等式，從而得出n的值，即得出直線CD的定點(diǎn)坐標(biāo)．