Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD，從而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，分別求出平面BEF的法向量為

m

和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD，
從而AC⊥平面BDE．…（5分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镈A，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示．
因?yàn)锽E與平面ABCD所成角為60°，即∠DBE=60°，
所以

ED

DB

=

3

．
由AD=3，可知DE=3

6

，AF=

6

．
則A（3，0，0），F(xiàn)（3，0，

6

），E（0，0，3

6

），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=（0，-3，

6

），

EF

=（3，0，-2

6

）．
設(shè)平面BEF的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • BF =0 m • EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

．
令z=

6

，則

m

=（4，2，

6

）．
因?yàn)锳C⊥平面BDE，所以

CA

為平面BDE的法向量，

CA

=（3，-3，0）．
所以cos＜

m

，

CA

＞=

m • CA

| m || CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．
因?yàn)槎�面角為銳角，所以二面角F-BE-D的余弦值為

13

13

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．