Question

已知（1+2

x

）ⁿ展開式中某項的系數(shù)恰為它的前一項系數(shù)的2倍，而等于它后一項系數(shù)的

5

6

，求該展開式中二項式系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出相鄰三項的系數(shù)，據(jù)題意，列出方程，利用組合數(shù)公式先求出n的值；再設系數(shù)最大的項為第s+1項，令它的系數(shù)大于等于第s項的系數(shù)同時大于等于第s+1項的系數(shù)，列出不等式組，利用組合數(shù)公式求出s的值，求出二項式展開式中系數(shù)最大的項．

解答：解：根據(jù)題意，設該項為第r+1項，則有

C r n 2r=2 C r-1 n 2r-1 C r n 2r= 5 6 C r+1 n 2r+1

即

C r n = C r-1 n C r n = 5 3 C r+1 n

亦即

n=2r-1 n! r!(n-r)! = 5 3 n! (r+1)!(n-r-1)!

解得

r=4 n=7.

，∴n=7．
設第s+1項系數(shù)最大，則有

C s 7 2s≥ C s-1 7 2s-1 C s 7 2s≥ C s+1 7 2s+1

即

2 C s 7 ≥ C s-1 7 C s 7 ≥2 C s+1 7

亦即

2 7! s!(7-s)! ≥ 7! (s-1)!(7-s+1)! 7! s!(7-s)! ≥2 7! (s+1)!(7-s-1)!

解得

2 s ≥ 1 8-s 1 7-s ≥ 2 s+1

，

13

3

≤s≤

16

3

，∴s=5
∴二項式展開式中系數(shù)最大的項為T₆=672x  

5

2

．

點評：本題以二項展開式的通項為載體，考查二項展開式的通項公式的運用，求展開式的特殊項問題時采用二項展開式的通項公式、二項展開式的系數(shù)最大的項的求法是設出系數(shù)最大的項，令該項的系數(shù)大于等于它前一項的系數(shù)同時等于等于它后一項的系數(shù)．