Question

（本題滿分12分）給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.
（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)作直線使得與橢圓都只有一個交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）根據(jù)斜率情況進(jìn)行分類討論，分別證明知直線垂直，從而=4

解：（Ⅰ），橢圓方程為……2分
準(zhǔn)圓方程為。                                   …………3分
（Ⅱ）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，因為與橢圓只有一個公共點(diǎn)，則其方程為，當(dāng)方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，
此時經(jīng)過點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是（或），
即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線垂直.        …………………………6分
②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點(diǎn)，其中.
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為，
則消去，得.
由化簡整理得：.…………………………8分
因為，所以有.
設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點(diǎn)，
所以滿足上述方程，
所以，即垂直.                      …………………………10分
綜合①②知：因為經(jīng)過點(diǎn)，又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)，且垂直，所以線段為準(zhǔn)圓的直徑，所以=4.       ………………………12分