Question

9．已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R⁺）（i是虛數(shù)單位）是方程x²-4x+5=0的根，復(fù)數(shù)w=u+3i（u∈R）滿足|w-z|＜2$\sqrt{5}$，求u的取值范圍．

Answer 1

分析 復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R⁺）（i是虛數(shù)單位）是方程x²-4x+5=0的根，代入可得（a+bi）²-4（a+bi）+5=0，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其復(fù)數(shù)相等可得a，b．再利用復(fù)數(shù)模的計算公式即可得出．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R⁺）（i是虛數(shù)單位）是方程x²-4x+5=0的根，
∴（a+bi）²-4（a+bi）+5=0，
化為a²-b²-4a+5+（2ab-4b）i=0，
∴a²-b²-4a+5=0，2ab-4b=0，
又a，b∈R⁺．
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{a=2}\end{array}\right.$，
∴z=2+i．
∵復(fù)數(shù)w=u+3i（u∈R）滿足|w-z|＜2$\sqrt{5}$，
∴|（u-2）+2i|＜2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（u-2）^{2}+{2}^{2}}$＜2$\sqrt{5}$，
化為（u-2）²＜16，
解得-2＜u＜6．
∴u的取值范圍是（-2，6）．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．