Question

已知A（6，1），B（0，-7），C（-2，-3）為平面直角坐標(biāo)系的三點(diǎn)．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）求線段AB的垂直平分線的方程；
（3）若點(diǎn)P為線段AB的垂直平分線上的任一點(diǎn)，試判斷

CP

•

AB

的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得線段AB的垂直平分線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得出；
（3）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出．

解答： 解：（1）由題意得

AB

=(-6，-8)，

BC

=(-2，4)，

CA

=(8，4)，
∵

BC

•

CA

=0，∴

BC

⊥

CA

，即∠C=

π

2

，
∴△ABC為直角三角形．
（2）∵A（6，1），B（0，-7），
∴線段AB中點(diǎn)為(

6+0

2

，

1-7

2

)即（3，-3），
由k_AB=

4

3

，∴AB的垂直平分線的斜率為-

3

4

，
∴線段AB的垂直平分線方程為y+3=-

3

4

(x-3)，即為3x+4y+3=0．
（3）由（2）得，AB的垂直平分線方程為3x+4y+3=0，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有3x+4y+3=0，
又

CP

=(x+2，y+3)，

AB

=(-6，-8)，
∴

CP

•

AB

=-6x-8y-36=-30
即

CP

•

AB

的值是一個(gè)常數(shù)且為-30．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、線段的垂直平分線的性質(zhì)、點(diǎn)斜式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．