Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-mx+m）•e^x（m∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在的條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m＜0時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，即f（x）=（x²-mx+m）•e^x=0有解，
則等價(jià)為x²-mx+m=0有解，即△=m²-4m≥0，
解得m≥4或m≤0，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍m≥4或m≤0；
（Ⅱ）當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=[x²+（2-m）x]e^x=x[x-（m-2）]•e^x，
∵m＜0，
∴由f′（x）＞0，得x＞0或x＜m-2；
由f′（x）＜0，得m-2＜x＜0；
故f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）和（-∞，m-2），f（x）的遞減區(qū)間為（m-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．