Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F(xiàn)是線段EB的中點．
（Ⅰ）證明：BD⊥AE；
（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（銳角）的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得BD=2

2

，EA⊥ED，EA=ED=2，AD=2

2

，由勾股定理得BD⊥AD，從而BD⊥平面AED，由此能證明BD⊥AE．
（Ⅱ）取AD的中點O，連結OE，則OE⊥AD，取AB的中點F，連結OF，則OF∥BD，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，求出平面CDE的法向量和平面CDE的一個法向量，由此能求出平面ADE和平面CDE所成角（銳角）的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵BC⊥CD，BC=CD=2，∴BD=2

2

，
同理EA⊥ED，EA=ED=2，∴AD=2

2

，
又∵AB=4，∴由勾股定理得BD⊥AD，
又∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面AED，又∵AE?平面ADE，
∴BD⊥AE．
（Ⅱ）解：取AD的中點O，連結OE，則OE⊥AD，
∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，
∴OE⊥平面ABCD，
取AB的中點F，連結OF，則OF∥BD，
以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
則D（-

2

，0，0），C（-2

2

，

2

，0），E（0，0，

2

），

DC

=（-

2

，

2

，0），

DE

=（

2

，0，

2

），
設平面CDE的法向量為

n

=（x，y，z），
則

DC • n1 =x+z=0 DE • n2 =-x+y=0

，取x=1，得平面CDE的一個法向量為

n1

=（1，1，-1），
又平面ADE的一個法向量為

n2

=（0，1，0），
設平面ADE和平面CDE所成角（銳角）為θ，
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

3

3

，
∴平面ADE和平面CDE所成角（銳角）的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運用．