Question

4．已知函數(shù)f（x）和g（x）的定義域均為R，f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且g（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，3），g（x）=f（x-1），則f（2012）+g（2013）=（　�。�

• A． 6
• B． 4
• C． -4
• D． -6

Answer 1

分析 由g（x）=f（x-1），g（x）是奇函數(shù)，可以推導(dǎo)函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，由g（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，3），得g（-1）=3，利用g（x）是奇函數(shù)，則g（1）=-3，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和周期性，可以進(jìn)行求值．

解答 解：∵g（x）=f（x-1），g（x）是奇函數(shù)，
∴g（-x）=-g（x），
即f（-x-1）=-f（x-1），
又f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期性為4，
∴f（2012）=f（0），
∵g（x）=f（x-1），
∴g（2013）=f（2013-1）=f（2012）=f（0），
∴f（2012）+g（2013）=2f（0），
∵g（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，3），得g（1）=3，
又g（1）=f（0），
∴f（0）=g（1）=3，
∴f（2012）+g（2013）=2f（0）=6．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，利用條件推導(dǎo)函數(shù)f（x）是周期函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查了學(xué)生的運(yùn)算推導(dǎo)能力．